Kleiner Denksport- (und Logik?-) Thread

[Sabre]

Ich rate mal

6227020800

[Bernhard75045]

Wow!

[mvordeme]

Prima Rätsel!

Meine erste spontane und völlig unüberlegte Antwort ist 4096.

[ewgh]

Ich rate mal

6227020800

Das wäre schon ein bisschen arg viel!

Meine erste spontane und völlig unüberlegte Antwort ist 4096.

Das ist schon ein bisschen arg tiefgestapelt!

oder:
Jedem PC-Freak muss da das Herz im Leibe lachen.

[mvordeme]

Begründung:

Alle Möglichkeiten herauszufinden, das Wort von links nach rechts zu schreiben, war mir zu kompliziert. Von rechts nach links ist es dagegen einfach. Man fängt oben rechts an und kann sich bei jedem Schritt entscheiden, geradeaus oder nach unten zu gehen. Das Wort hat 13 Buchstaben, man muss also 12 Schritte machen. Zwölf binäre Entscheidungen ergeben 2^12 = 4096 Wege.

[hagge]

Also das klingt schon verdammt logisch, was mvordeme da sagt. Aber vermutlich muss man die einzelnen Verzweigungsmöglichkeiten mal wieder aufaddieren, so dass vermutlich 8191 herauskommt.

Gruß,

Hagge

[ewgh]

Also das klingt schon verdammt logisch, was mvordeme da sagt. Aber vermutlich muss man die einzelnen Verzweigungsmöglichkeiten mal wieder aufaddieren, so dass vermutlich 8191 herauskommt.

Gruß,

Hagge

Die Lösung von mvordeme ist korrekt! Seine Lösung zeigt, dass es mitunter vorteilhaft ist, wenn man "das Pferd vom Schwanze her aufzäumt". Damit dies in unserem Falle nicht geschehen muss, habe ich das "TOPFIELDFORUM-Dreieck umgeschrieben.

Siehe pdf-Datei!

[mvordeme]

Dies ist eines meiner Lieblingsrätsel, das auch noch den Vorteil hat, dass es weitgehend unbekannt ist. Ich habe allerdings kein Gefühl dafür, wie schwer es ist. Als ich es das erste Mal sah, ging ich noch zur Schule und hatte keinerlei Ahnung von der Lösung. Wenn man sie dann kennt, kommt sie einem nicht mehr so abwegig vor.

Es wird erzählt, dass sich einst zwei ehrenwerte Syrer zusammen taten und ihre ganzen Ersparnisse in einen Topf warfen, um sich davon einen Schleifstein zu kaufen. Da sie ein paar Meilen voneinander entfernt wohnten, kamen sie überein, dass der Ältere von ihnen den Schleifstein solange behalten sollte, bis dieser genau zur Hälfte abgewetzt war, und dann sollte ihn der Andere bekommen.

Der Schleifstein ist kreisrund mit einem ebenfalls kreisrunden Loch in der Mitte. Wie können die beiden Syrer nur mit Zirkel und Lineal den Umfang des zur Hälfte abgewetzten Schleifsteins anzeichnen? Um unnötigen Diskussionen und vor allem Verkomplizierungen der Lösung vorzubeugen, gehen wir davon aus, dass man an jedem Punkt des Schleifsteins einschließlich des Randes und des Lochs einen Zirkel einstechen oder eine Linie zeichnen kann.

Quelle: Sam Loyd/Martin Gardner - Mathematische Rätsel und Spiele

[Anthea]

Du meinst aber schon die Hälfte der "Masse", oder? Weil einfach nur den halben "Restradius" zu nehmen, dann hat ja der Jüngere viel weniger effektiv vom Schleifstein. Und wird noch innen 2 cm "Sicherheitszone" genommen, damit man den auch noch einspannen kann?

[mvordeme]

Ja, ich meine die Hälfte der Masse. Sicherheitszone gibt es nicht. Das Rätsel ist ohnehin etwas realitätsfern, da Schleifsteine normalerweise ein quadratisches Loch haben. Damit entfällt dann auch die Sicherheitszone.

[ewgh]

Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, so handelt es sich um zwei konzentrische Kreise ka und ki, deren Mittelpunkt fehlt.
Gesucht ist ein weiterer konzentrischer Kreis kz, welcher die Differenz von Fa und Fi halbiert.

(a: aussen / i: innen / z: zwischen stehen für Indizes und Radien)

Um kz zeichnen zu können, brauchen wir den Mittelpunkt M und den Radius z.

Den Mittelpunkt konstruiert man „trivial“ über die Mittelsenkrechten zweier Sehnen (von ka oder ki).

Die “Berechnung” von z führt zu folgendem Zusammenhang:

z^2 = (a^2 + i^2)/2 (unabhängig von Pi)

Geometrische Deutung:

Summierung und Halbierung von Quadraten erfolgt über das rechtwinklige Dreieck (Pythagoras).

Anmerkung:
Grundsätzlich (weniger „trivial“) kann die Aufgabe auch ohne Lineal – also lediglich mit dem Zirkel – gelöst werden.

[mvordeme]

Jetzt wollte ich gerade ein paar Hinweise posten, was mit Zirkel und Lineal alles so geht und nicht geht, da ist das Rätsel theoretisch schon gelöst. Möchtest Du die Lösung auch vorführen, oder soll ich mal den Lösungsweg basteln? Interessant ist auch, dass die in der zitierten Quelle angegebene Lösung fehlerhaft ist.

[ewgh]

Jetzt wollte ich gerade ein paar Hinweise posten, was mit Zirkel und Lineal alles so geht und nicht geht, da ist das Rätsel theoretisch schon gelöst. Möchtest Du die Lösung auch vorführen, oder soll ich mal den Lösungsweg basteln? Interessant ist auch, dass die in der zitierten Quelle angegebene Lösung fehlerhaft ist.

Ich verstehe aber meine Erklärung nicht als "theoretische" Lösung! Solltest Du (<- höflich, nicht?) aber meinen, dass "das" alles durchgezeichnet werden soll, muss (will) ich passen; denn es steht mir auf diesem PC kein "Konstruktionsprogramm" zur Verfügung.
(Solltes Du meine "Anmerkung" meinen, dann erst recht nicht; denn dies käme beinahe einr Diplomarbeit gleich.)

Muss mittagessen gehen; gebe später noch einen diesbezüglichen Link an.

[ewgh]

Mascheroni (siehe letzten Post)

[mvordeme]

Solltest Du (<- höflich, nicht?) aber meinen, dass "das" alles durchgezeichnet werden soll, muss (will) ich passen; denn es steht mir auf diesem PC kein "Konstruktionsprogramm" zur Verfügung.

Das wollte ich nur wissen. Dann reiche ich das nach. Ich glaube nämlich eher nicht, dass der Großteil der Forumskollegen Deiner Lösung folgen konnte. Du darfst aber schon mal weiter machen, damit hier keine Langeweile aufkommt.

Mascheroni (siehe letzten Post)

Danke. Das muss ich mir dann unbedingt mal ansehen.

[mvordeme]

Zunächst mal dazu, was so mit Zirkel und Lineal geht und nicht geht.

Die Mathematiker arbeiten mit einem abgespeckten Lineal, das keinerlei Maßstab besitzt. Mit einem Lineal kann man daher lediglich Strecken zeichnen - entweder frei oder durch einen oder zwei vorgegebene Punkte.

Mit dem Zirkel kann man dagegen Längen übertragen, also etwa den Abstand zweier vorgegebener Punkte abnehmen und an anderer Stelle antragen. Man kann auch einen Kreis, also die Menge aller Punkte, die den eingestellten Abstand vom Kreismittelpunkt haben, zeichnen. Sucht man einen Punkt, der bekannte Abstände von zwei vorgegebenen Punkten hat, erhält man diesen indem man die Kreise um die vorgegebenen Punkte schneidet.

Eine häufig gebrauchte Konstruktion ist die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke und/oder die Errichtung einer Senkrechten zu einer Geraden in einem vorgegebenen Punkt. Dazu habe ich eine Zeichnung angefügt.



Die Gerade g mit den zwei Punkten A und B sei vorgegeben. Man erhält den Mittelpunkt der Strecke AB, indem man Kreise mit gleichem Radius um A und B schlägt (blau) und deren Schnittpunkte verbindet. Der Schnittpunkt M dieser Mittelsenkrechten s (rot) mit der Geraden g ist der gesuchte Punkt. Die Mittelsenkrechte ist die Menge aller Punkte, die von A und B den gleichen Abstand haben. Man kann damit also auch zum Beispiel auf einem Kreisbogen den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten bestimmen.

Möchte man zu einer gegebenen Geraden g im Punkt M die Senkrechte konstruieren, benötigt man zunächst zwei Punkte auf g, die von M den gleichen Abstand haben. Dazu schlägt man um M einen Kreis (grün) und erhält die Schnittpunkte A und B. Ab da geht es weiter wie gerade gezeigt.

[mvordeme]

Das zweite Hilfsmittel zur Lösung der Aufgabe ist der Satz von Pythagoras. In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse (lange Seite) c gilt

a² + b² = c²

Anschaulich bedeutet das, dass die Summe der Flächen der Quadrate über den beiden kurzen Seiten gleich der Fläche des Quadrats über der langen Seite ist.



Die Fläche eines Kreis mit Radius r ist πr². Die Gleichung des Pythagoras kann man natürlich auch mit π multiplizieren. Also gilt auch

πa² + πb² = πc²

Es ist also die Fläche des Kreises mit Radius c gleich der Summe der Flächen der Kreise mit Radius a und b. In einem gleichseitigen rechtwinkligen Dreieck mit a = b gilt speziell

2πa² = πc²

[mvordeme]

Dann nehmen wir uns mal unseren Schleifstein (fette schwarze Kreise) her.



Zunächst ermitteln wir den Kreismittelpunkt. Dazu zeichnen wir eine beliebige Sehne (Strecke zwischen zwei Kreispunkten, blau) ein und errichten darauf die Mittelsenkrechte. Von der wissen wir, dass sie den Mittelpunkt schneidet. Da wir das gleich brauchen werden, schneiden wir diese mit dem Kreis und errichten zwischen den beiden Schnittpunkten wieder die Mittelsenkrechte. Der Schnittpunkt der beiden Mittelsenkrechten (rot) ist der Kreismittelpunkt. Außerdem habe ich sozusagen als Abfallprodukt den Kreis geviertelt und rechte Winkel am Kreismittelpunkt konstruiert.

Jetzt konstruieren wir einen Kreis, der die halbe Fläche wie der äußere Rand des Schleifsteins einschließt. Dazu brauchen wir ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck. Zum Glück haben wir schon rechte Winkel, also geht das einfach.



Wir verbinden zwei Schnittpunkte der beiden Hilfsgeraden von oben und errichten darauf wieder eine Mittelsenkrechte. Dabei erhalten wir ein gleichseitiges rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Radius des Schleifsteins ist. Wir schlagen einen Kreis um den Kreismittelpunkt durch den neu erhaltenen Eckpunkt des Dreiecks.

Wenn der Stein kein Loch hätte, wären wir jetzt fertig. So ist aber die Fläche des Reststückes zu klein, und zwar genau um die Hälfte der Fläche des Lochs. Wir wenden also den gleichen Trick auf das Loch an und konstruieren einen Kreis mit halber Fläche.



Jetzt addieren wir dessen Fläche zur Fläche des Reststücks, indem wir aus den Radien ein rechtwinkliges Dreieck bauen. Die Hypotenuse ist der gesuchte Radius r, und wir können jetzt leicht den Rand des zur Hälfte abgewetzten Schleifsteins einzeichnen.

[nilssohn]

Soll niemand behaupten, man würde hier nichts lernen.

[ewgh]

Soll niemand behaupten, man würde hier nichts lernen.

So ist's!!


Zur Lösung der folgenden Aufgabe sind keine mathematischen Kenntnisse nötig!


Unser jüngster Enkel wird heute in 8 Tagen 8 Jahre alt. Er besitzt also ein Geburtsdatum (geschrieben in der Form tt.mm.jjjj), welches aus lauter geraden Ziffern besteht (und erst noch recht speziell ist!).

02.02.2000 ist auch ein solches Datum.

1. Wieviele Datums, welche aus lauter geraden Ziffern bestehen, liegen zwischen den beiden angegebenen?
2. Wie heisst das Datum, welches vor dem 02.02.2000 als Letztes die Bedingung erfüllt?


Zusatzaufgabe:

Wann hatten wir zum letzten Mal ein Datum aus acht verschiedenen Ziffern?

Übrigens:
Die Geschichte ist nicht erfunden; sie ist ein Teil unserer Familiensaga.